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你一定背过3,祖冲之与圆周率

来源:http://www.counttheLove.com 作者:小鱼儿玄机2站 时间:2019-09-18 17:28

57.祖冲之与圆周率

57.祖冲之与圆周率

祖冲之,南北朝时期人,出生河北省涞源县。是我国古代杰出的数学家,天文学家,历法学家,文学家、机械发明家。祖冲之在数学上最卓越的成就为圆周率的计算。

中国古代的人们从实践中认识到,圆的周长是“圆径一而周三有余”,但是余多少,意见不一。在祖冲之之前,数学家刘徽提出了计算圆周率的科学方法——“割圆术”,用圆内接正多边形的周长来逼近圆周长,刘徽计算圆周率到小数点后4位数。祖冲之在此基础上,将圆周率推算至小数点后7位数,即3.1415926与3.1415927之间,创造了当时世界上的最高水平。一千多年以后,阿拉伯数学家阿尔·卡西在公元1427年才超过祖冲之,达到小数点后16位的精确度。

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刘徽是公元三世纪世界上最杰出的数学家,他在公元263年撰写的着作《九章算术注》以及后来的《海岛算经》,是我国最宝贵的数学遗产,从而奠定了他在中国数学史上的不朽地位。此外,他在《九章算术·圆田术》注中,用割圆术证明了圆面积的精确公式,并给出了计算圆周率的科学方法。

作者 | 平章

那么,究竟什么是“割圆术”呢?所谓“割圆术”,是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法,是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后,经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。

出品 | 网易科技《知否》栏目组

中国古代从先秦时期开始,一直是取“周三径一”(即圆周周长与直径的比率为三比一)的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果,往往误差很大。正如刘徽所说,用“周三径一”计算出来的圆周长,实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长,其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果,他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些,但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长,也不精确。刘徽以极限思想为指导,提出用“割圆术”来求圆周率,既大胆创新,又严密论证,从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

嗯,今天是国际圆周率日。如果现在突然要你背π的值,你能背到几位?

在刘徽看来,既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长,与圆周长相差很多;那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上,再继续等分,把每段弧再分割为二,做出一个圆内接正十二边形,这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗?如果把圆周再继续分割,做成一个圆内接正二十四边形,那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周……这就表明,越是把圆周分割得细,误差就越少,其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去,一直到圆周无法再分割为止,也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候,它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。

我大概可以背到20多位:3.1415926535897932384626(小编对着苍天发誓:这绝对是背出来的)。

按照这样的思路,刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形,并由此而求得了圆周率 为3.14和 3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信,把它推广到有关圆形计算的各个方面,从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。以后到了南北朝时期,祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力,终于使圆周率精确到了小数点以后的第七位。在西方,这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的,比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个分数值,一个是“约率” ,另一个是“密率”。,其中 这个值,在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的,都比祖冲之晚了一千一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献,历史是永远不会忘记的。

话说回来,只要能记得3.1415926,回到古代就够你用的了。

利用圆内接或外切正多边形,求圆周率近似值的方法,其原理是当正多边形的边数增加时,它的边长和逐渐逼近圆周。早在公元前5世纪,古希腊学者安蒂丰为了研究化圆为方问题就设计一种方法:先作一个圆内接正四边形,以此为基础作一个圆内接正八边形,再逐次加倍其边数,得到正16边形、正32边形等等,直至正多边形的边长小到恰与它们各自所在的圆周部分重合,他认为就可以完成化圆为方问题。到公元前3世纪,古希腊科学家阿基米德在《论球和阅柱》一书中利用穷竭法建立起这样的命题:只要边数足够多,圆外切正多边形的面积与内接正多边形的面积之差可以任意小。阿基米德又在《圆的度量》一书中利用正多边形割圆的方法得到圆周率的值小于三又七分之一而大于三又七十分之十 ,还说圆面积与夕卜切正方形面积之比为11:14,即取圆周率等于22/7。公元263年,中国数学家刘徽在《九章算术注》中提出“割圆”之说,他从圆内接正六边形开始,每次把边数加倍,直至圆内接正96边形,算得圆周率为3.14或157/50,后人称之为徽率。书中还记载了圆周率更精确的值3927/1250。刘徽断言“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”。其思想与古希腊穷竭法不谋而合。割圆术在圆周率计算史上曾长期使用。1610年德国数学家柯伦用2^62边形将圆周率计算到小数点后35位。1630年格林贝尔格利用改进的方法计算到小数点后39位,成为割圆术计算圆周率的最好结果。分析方法发明后逐渐取代了割圆术,但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道。 刘徽割圆术简单而又严谨,富于程序性,可以继续分割下去,求得更精确的圆周率。南北朝时期着名数学家祖冲之用刘徽割圆术计算11次,分割圆为12288边形,得圆周率π=355/133(=3.1415929 ),成为此后千年世界上最准确的圆周率。

圆周率是什么?

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圆周率是圆周长与直径的比值,也是圆形面积与半径平方的比,用一个希腊字母π来表示,是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。

π是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值,是一个无理数。在日常生活中,通常使用3.14代表圆周率去进行近似计算,而3.1415926536已经足以满足一般计算。

在2011年,国际数学协会正式宣布,将每年的3月14日设为国际圆周率日。

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而这,是为了我国古代伟大的数学家祖冲之。他是世界上第一个将“圆周率”精算到小数第七位,即在3.1415926和3.1415927之间,他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。直到16世纪,阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。

谈到祖冲之,就必须得聊下割圆法。

割圆术是个啥?

对于圆周率的研究,在人类历史上很早就开始了。

一块古巴比伦石匾(约产于公元前1900-1600年)清楚地记载了圆周率 = 25/8 = 3.125。同一时期的古埃及文物,莱因德数学纸草书(公元前1650年左右)也表明圆周率等于分数16/9的平方,约等于3.1605。

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接下来,得聊聊那个要用竹竿翘起地球的阿基米德(公元前287年—公元前212年)了。

阿基米德是个大数学家,他用圆的内接和外切正多边形的周长给出圆周率的下界和上界:他从正六边形开始,逐次加倍正多边形的边数,再借助勾股定理(西方称为毕达哥拉斯定理)改进圆周率的下界和上界,就这样一直算到正96边形,计算出圆周率的下界和上界分别为223/71和22/7(3.140845到3.142857),并取它们的平均值3.141851为圆周率的近似值。

这就是割圆法。阿基米德的计算,让欧洲人用了十多个世纪。

在遥远的东方,中国古代也一直在研究这个奇妙的数字。

公元前2世纪的中国古算书《周髀算经》,其中已经有“径一而周三”的记载,即是说π等于3。

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东汉时期,有一位天文学家、数学家、发明家、文学家张衡,他不仅发明了浑天仪、地动仪,还得出圆周率约等于10的开方。

到了魏晋时期,大数学家刘徽(约225年—约295年)提出了"割圆术",即将圆周用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。

刘徽先从圆内接正六边形,逐次分割一直算到圆内接正192边形,得出圆周率=3.14之后,继续割圆到1536边形,求出3072边形的面积。

刘徽最后计算出,圆周率约等于3.1416。

到南北朝时期,祖冲之在刘徽基础上继续割圆,他割到了24576边型,最终得出圆周率在3.1415926和3.1415927之间的结论。

祖冲之成为世界上第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。

到了15世纪,阿拉伯数学家卡西初求得圆周率17位精确小数值,这才打破祖冲之保持了近千年的纪录。数学家鲁道夫·范·科伊伦(Ludolph van Ceulen,1540年1月28日—1610年12月31日)于1596年将π值算到20位小数值,后投入毕生精力,于1610年算到小数后35位数,该数值被用他的名字称为鲁道夫数。

电脑时代的十万亿位

随着电脑的诞生,让圆周率的计算得以进一步加强。

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1946年2月14日,世界上第一台通用计算机ENIAC诞生,这也是继ABC(阿塔纳索夫-贝瑞计算机)之后的第二台电子计算机。

1949年,冯·诺依曼等科学家利用这部电脑计算出π的2037个小数位。

1973年,Jean Guilloud和Martin Bouyer以电脑CDC 7600发现了π的第一百万个小数位。

1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷-2型和IBM-3090/VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数,后又继续算到小数点后10.1亿位数。2010年1月7日,法国工程师法布里斯·贝拉将圆周率算到小数点后27000亿位。2011年10月16日,日本人近藤茂利用家中电脑将圆周率计算到小数点后10万亿位,

在最后,给出一下π费曼点的767位:

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706798214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120190914564856692346034861045432664821339360726024914127372458700660631558817488152092096282925409171536436789259036001133053054882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912983367336244065664308602139494639522473719070217986094370277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356082778577134275778960917363717872146844090122495343014654958537105079227968925892354201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999

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